昨日NHKEテレで笑わない数学 「ａｂｃ予想」の再放送をみたのであります。
そして久しぶりに、宇宙際タイヒミュラー理論に出会ったのであります。
これについて言及しましたのが、11年前の以下のエントリーであります。
知の爆発−−直感を疎かにしてはいけない（４）、投稿日:2012年9月23日
今回は、このエントリーの再掲であります。
知の爆発−−直感を疎かにしてはいけない（４）、投稿日:2012年9月23日
今週は、この情報に、KAIの心は大きく揺さぶられているのであります。
これから「ＡＢＣ予想」なるものがいかなるものか、じっくりとご説明するのでありますが、まずもって今回のビッグニュースの本質は、まったく別のところにあるのであります。現代の数学に未解明のまま残された問題のうち、「最も重要」とも言われる整数の理論「ＡＢＣ予想」を証明する論文を、望月新一京都大教授（４３）が１８日までにインターネット上で公開した。
論文は４編の５００ページ。整数論の代表的難問であり、解決に約３５０年かかった「フェルマーの最終定理」も、この予想を使えば一気に証明できてしまうことから、欧米のメディアも「驚異的な偉業になるだろう」と興奮気味に伝えている。
ＡＢＣ予想は１９８５年に欧州の数学者らによって提唱された。ＡとＢの二つの整数とこれらを足してできる新たな整数Ｃを考え、それぞれの素因数について成り立つ関係を分析した理論で、整数の方程式の解析では「最も重要な未解決の問題」とも言われる。
望月教授は米プリンストン大数学科を１９歳で卒業、京大助手などを経て現職。
（難問「ＡＢＣ予想」解明か 望月京大教授 話題沸騰）
それは、望月教授がご自身の「内的過程」を明らかにされるかどうかは別にして、今回の成果がコンピュータグラフィックスの「大進化」の延長線上にあると、KAIは確信するのであります。
いままでであれば、紙とエンピツが「武器」と言われた、理論物理と数学の世界。これが高次元トポロジー空間をコンピュータグラフィックスでシミュレーションできるようになって、一変した。この結果の、今回の研究成果であります。この「ひも」と言う概念が直観的にわかりやすいこともあって一見とっつきやすそうでいて、いざ取り組み始めると、たちまち10次元、11次元といったトポロジー空間のお話になって、ではこれを数理的にどう処理すればいいか、皆目見当がつかない、そう言うとんでもない「理論」であったのであります。
それがいまでは、若い研究者の間で、苦も無く数理計算ができるようになったと言うのが、さきほどの3次元宇宙誕生のシミュレーションの研究と言うわけであります。
（知の爆発−−直感を疎かにしてはいけない）
そこで、であります。
「ＡＢＣ予想」とは、なんであるかであります。
それは、「素数」の集合の大きさがどの程度のものか、これを予想するものであります。
これをもう少し具体的に理解するためには、そもそも「素数」とはいかなるものか、まずもってこの勉強から始める必要があるのであります。
すなわち、自然数とは、素数と、その素数を掛け合わせたできた合成数、この2種類だけの数から成り立っていると言うことであります。素数とは、ただ2つだけの正の約数を持つ自然数、すなわち 1 と自分自身のみで割り切れる自然数かつ 1 でない数と定義される。例えば、5 の正の約数は 1, 5 だけなので素数である。一方で 4 は、正の約数が 1, 2, 4 なので素数でない。2以上の自然数で素数でないものを合成数と呼ぶ。
（素数、Wikipedia）
当然、自然数が無限に存在するように、素数も合成数も無限に存在するわけであります。
それぞれ無限に存在するけれども、常に以下の関係が成り立つことは自明であります。
そこで、「ＡＢＣ予想」であります。素数の集合 ＜ 合成数の集合
ここでＬのｄ乗を、Ｌ（ｄ）と書くことにすると、「ＡＢＣ予想」とは次のようになるのであります。Ａ、Ｂ、Ｃと3つある自然数がそれぞれ持つ異なる素数をすべて掛け合わせた合成数（Ｌ）と、Ｃとの大きさを比較するものとする。
但し、Ａ＋Ｂ＝Ｃで、ＡとＢは互いに素であるとする。
- １＜ｄ＜２の場合
Ｌ（ｄ）＜Ｃを満たすＬの集合は有限である。
- ｄ＝２の場合
Ｌ（ｄ）＜Ｃを満たすＬの集合は存在しない。
（Ｌ（２）＞Ｃが常に成立する）
もしこの予想が証明されたとすると、これは暗号解読にとってきわめて重要な制約条件となるのであります。つまり解読効率の大幅な向上であり暗号アルゴリズムにとって、セキュリティ上の重大危機であります。
そこで、であります。
望月教授の、「証明」であります。
KAIのレベルでとても読みきれるものではありませんが、この理解のヒントになるのが、こちらの説明であります。Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters.
望月教授が打ち立てた宇宙際タイヒミュラー理論（Inter-universal Teichmuller Theory）とは、フラクタル構造を持つ多次元トポロジー空間ではないかと想像するのであります。
「そっくりアニメ」で描かれている入れ子構造をフラクタル構造と言うのでありますが、このフラクタル構造を理解するうえでもっとも重要な概念が「被覆次元」と言う概念であります。例えば「被覆ハウスドルフ次元」と言うものがあるのでありますが、簡単にこれをご説明すると次のようになるのであります。
いかがでしょうか。最初にご説明したＡＢＣ予想の式と、これは「なんとなく」似ているとは思いませんか。ｌ（ｄ）＋ｌ（ｄ）＋ ・・・ +ｌ（ｄ）＝Ｓｄとすると、
（ｌ（ｄ）：被覆切片の長さｌのｄ乗、Ｓｄ：測度（ｌ（ｄ）の総和））被覆ハウスドルフ次元（Ｄ）とは以下のように定義される。
ｄ＜Ｄのとき、Ｓｄ≠０
Ｄ＜ｄのとき、Ｓｄ＝０あるいは、
ｄ＜Ｄのとき、Ｓｄ＝∞
Ｄ＜ｄのとき、Ｓｄ＜∞
つまり、ＡＢＣ予想における被覆ハウスドルフ次元とは「２」であるとの「類似」であります。
すなわち、このＤ＝２より小さい乗数ｄの場合にのみ、これを満たす測度が有限に存在し、Ｄ＝２より大きい乗数ｄの場合は、ｄ乗の測度は一切存在しなくなる、と。
実際問題、望月教授の、宇宙際タイヒミュラー理論とは、この高次元トポロジー空間の構造自体を「宇宙」として定義することにより、この「宇宙」同士がフラクタルに「接続」するための「ルール」を、テータ関数（被覆次元の拡張）を使ってパターン化する「理論」であると、KAIは、勝手解釈するのであります。
これが、いかに画期的「理論」であるかは、すでに欧米メディアが伝えるところではありますが、これはこの「宇宙際タイヒミュラー理論」が、理論物理で言うところの「大統一理論」の「性格」を有しているからであります。
「素数」とは、数論における「素粒子」であります。
「素数」は無限に存在するとは言え、その「素数」そのものの実態は、依然よくわかっていないのが現状であります。
もしかしたら、この「宇宙際タイヒミュラー理論」によって、「素数」そのもの同士の関係が解き明かされるかもしれない。
21世紀の「知の爆発」は、とどまることを知らないのであります。 KAI
コメント